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수학 교양서. 이 책은 옥스퍼드 대학교의 수학과 교수이자 왕립학회 연구원인 저자가 수학사의 최대 미스터리인 리만 가설에 대한 내용을 역사적으로 풀어낸 것으로 19세기 이후부터 리만가설에 이르는 현대 정수론의 모든 것을 담고 있다.

다양한 사례를 통해 쉽고 자세한 설명을 곁들여 리만 가설에 관해 상세히 소개하고 있으며, 실생활에 깊이 관여하고 있는 소수에 대한 내용을 정리했다.

"우리는 각자
고유의 소수에 의하여 식별될 것이다…"


리만 가설은 전 세계의 선도적 수학자들을 홀리는 최대의 문제이다. 페르마의 마지막 정리보다 더 어렵고 중요하다고 여겨지는 이 가설에 대한 증명은 수학적 우주 전체를 새롭게 그려 낼 주기율표가 될 것이다. 하지만 그 영향력은 이를 훨씬 넘어선다. 상거래에서 이 가설은 엄청난 중요성을 갖는데, 은행업무와 전자상거래의 보안은 바로 소수에 기반을 두고 있기 때문이다. 또한 이 아이디어는 양자역학과 카오스 이론과 미래의 계산 등 광범위한 과학의 여러 분야를 한데 엮고 있다. 찬란한 권위에 빛나는 『소수의 음악』은 수학의 성배 뒤에 숨은 경이로운 역사와 이를 붙들려는 끊임없는 노력을 흥미진진하게 펼쳐 보여 준다.

?소수, 수가 연주하는 가장 아름다운 음악
-수학과 음악 사이의 대화

“이게 들리지도 느껴지지도 않나요? 이 선율이 내게만 이토록 놀랍고도 감미롭게 들리는가요?”
-리하르트 바그너, 〈트리스탄과 이졸데〉 제3막 제3장

음악과 수학 사이에 뭔가 근본적인 관계가 있다는 사실을 처음 깨달은 사람은 피타고라스였다. 그는 항아리에 물을 가득 채우고 망치로 두드렸을 때 나오는 음에 귀를 기울였다. 다음으로 그는 항아리에 물을 절반만 채우고 두드렸을 때 나오는 음과 처음 음을 비교했다. 그랬더니 둘째 음은 첫째 음과 화음을 이루는 한 옥타브 높은 소리임을 알 수 있었다. 또한 이런 과정을 되풀이하여 물을 1/3, 1/4로 줄이면서 나오는 소리를 처음 소리와 함께 울리면 계속해서 화음이 만들어진다는 점도 알게 되었다. 음들 사이에 어떤 특정의 비율이 성립할 때 우리의 귀에 아름다운 화음으로 들린다는 것이다.


피타고라스가 음악과 수학 사이의 산술적 관계를 발견한 이래 많은 사람들은 이 두 분야가 공유하는 미학적 및 물리적 특성을 비교해 왔다. 바로크시대 프랑스의 작곡가인 라모는 1722년 “음악과 그토록 오래 함께해 왔음에도 불구하고 음악에 대한 지식을 진정으로 이해하게 된 것은 수학의 도움에 의해서였다는 사실을 고백하지 않을 수 없다”라고 썼다. 오일러도 음악이론을 수학의 일부로 편입하려고 했다. 이 과정에서 그는 “올바른 원리들을 이용하여 서로 잘 섞어 들어가 조화를 이루는 음들에 관한 모든 것을 체계적으로 기술하고자”했다. 오일러는 어떤 음들이 아름답게 들리는 이유의 배경에는 소수가 있을 것이라고 믿었다.
(제3장 리만의 상상 속 수학 거울 중 ‘제타함수-수학과 음악 사이의 대화’, 135쪽)


수학자 오일러(1707~1783)는 조화를 이루는 음들이 아름답게 들리는 이유의 배경에 소수가 있을 것이라고 믿었다. 오일러는 이라는 지수함수에 허수를 대입했더니 놀랍게도 어떤 음에 해당하는 파동의 그래프를 얻게 되었다. 여기에 보통 사용하는 실수를 대입하면 의 값이 커짐에 따라 함수값이 매우 빠르게 증가하는 그래프가 나온다. 그런데 허수를 대입한 오일러는 빠르게 솟구치는 그래프가 아니라 부드럽게 물결치는 파동과 같은 예상치 못한 결과를 얻었다. 이와 같이 부드럽게 물결치는 모습을 보이는 함수를 사인함수라고 부른다. 사인함수는 360°가 지날 때마다 같은 모습을 되풀이하는데 현재 매우 다양한 분야에서 사용되고 있다. 일례로 이를 이용하면 지상에서 건물 꼭대기를 바라보는 각도를 측정하여 그 높이를 알아낼 수 있다. 사인함수가 음악 소리를 재현하는 데에 핵심적인 역할을 한다는 사실이 알려진 것도 오일러 세대 때의 일이다. 피아노를 조율할 때 쓰이는 소리굽쇠에서 나오는 A음도 사인함수로 표현할 수 있다.


진동하는 바이올린의 현에서 나오는 소리가 기본음 및 배음들의 무한합이므로 수학자들은 당연히 수학적으로 이에 대응하는 식에 흥미를 가졌다. 진동수가 2배, 3배, 4배로 된다는 것은 현의 길이를 1/2, 1/3, 1/4 , …로 줄여서 소리를 내는 것에 해당한다. 따라서 수학으로 이는 1+1/2+1/3+…하는 무한합으로 나타낼 수 있는데, 언제인가부터 이 합은 조화급수라고 불려졌다. 조화급수는 이미 소개한 제타함수의 에 1을 대입해서 나오는 식과 같다…
(제3장 리만의 상상 속 수학 거울 중 ‘제타함수-수학과 음악 사이의 대화’, 137쪽)

『소수의 음악』에 대한 찬사
제1장 백만장자가 되고 싶나요?
제2장 수의 원자
패턴을 찾아 |증명, 수학자의 여행담 유클리드의 우화 |소수 사냥 |수학 독수리, 오일러 |가우스의 추측
제3장 리만의 상상 속 수학 거울
허수-수학의 새 지평 |거울 속 세상 |제타함수-수학과 음악 사이의 대화
다시 써 보는 고대 그리스의 소수 이야기
제4장 리만 가설, 무질서의 소수에서 질서의 영점으로
소수와 영점 |소수의 음악 |리만 가설-혼돈 속의 질서
제5장 수학적 계주, 리만 혁명의 이해
힐베르트-수학적 선동가 |란다우, 최고의 괴짜 |하디, 수학적 심미가 |리틀우드, 수학계의 건달
제6장 수학의 기인, 라마누잔
케임브리지의 문화적 충돌
제7장 수학적 탈출, 괴팅겐에서 프린스턴으로
리만을 돌아보며 |셀베르그, 외로운 스칸디나비아인 |에어디시, 부다페스트에서 온 마술사
영점의 질서는 소수의 무질서 |수학적 논쟁
제8장 마음의 기계
괴델(Godel)과 수학적 방법론의 한계 |튜링의 경이로운 마음의 기계 |톱니바퀴와 도르래와 기름
불확실성의 혼돈에서 소수의 방정식으로
제9장 컴퓨터 시대, 마음에서 데스크톱으로
컴퓨터-수학의 죽음? |자기에르, 수학적 검객 |오들리즈코, 뉴저지의 계산대가
제10장 수와 암호 깨기
인터넷 암호체계의 탄생 |MIT의 트리오, RSA |암호 카드 마술 |RSA 129에 도전하다
새 기법에 상금을 내걸다 |현실을 외면하다 |큰 소수를 찾아 |타원의 미래는 밝다
칼데아(Chaldea) 시의 즐거움
제11장 질서의 영점에서 양자 혼돈으로
물리학의 개구리 왕자, 다이슨 |양자 드럼 |경이로운 리듬 |수학적 마술 |양자 당구
42-궁극적 물음에 대한 답 |리만의 마지막 복선
제12장 빠진 그림 조각
여러 언어로 말하다 |새로운 프랑스혁명 |마지막 웃음
감사의 글
옮긴이의 글
참고자료
그림 및 자료 출처
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